感想与吐槽

• 没想到搞了这么多天，今晚弄完明天要出门去玩一玩才行了，顶不住。

• 好像数二没有数理统计？

• 线代是真的难崩，好在题目似乎就那几种，悟出来以后还是挺舒服的，虽然特别特别花时间。

• 配合上B站的”秒杀法“”记公式法“等等视频来食用，效果明显比之前一轮和伪二轮要好得多

——商子羽，2023.7.3第27周周一

4.第四题是真的复杂——反常积分的收敛性

1、反常积分、瑕点是什么？

反常积分收敛的定义：存在q，lim(x->0+)x^q * f(x)=C，则f(x)收敛

先将f(x)化成x的-q次方，是一种办法。

反常积分极限审敛法：存在a，lim(x->?)(x-a)^p * f(x)=C，则f(x)收敛

据说武忠祥的强化班有讲过2010年第四题，用p积分判断法可以快速搞定？可以剪一个短视频

link数一2016反常积分的题目

T5.求偏导

F（z/x）对x求偏导，要用乘积公式：（左导右不导+右导左不导）

T6.用极限来刻画二重积分

要提出1/n^2，看来这道题就是用来理解“用极限刻画二重积分”本身的

T7.向量组是否线性无关，和向量的个数有什么关系？

1、一个向量组线性无关，那么几何上可以表示x维度的空间，那么是不是最大的维度是11呢？

2、一个向量组线性无关，那么秩=向量个数； 一个向量组a能够线性表示另一个向量组b，那么rA>=rB

方程组的解、矩阵的行列式、矩阵的秩，向量组的向量个数等等等等，这些概念混杂在一起。堆、维等等等等

T8.实对称矩阵的相似关系及其特征值

实对称矩阵。特征值——Ax=λx

如何通过秩为3，求出所有的特征值的？

T9。晕。高阶常系数线性齐次微分方程的通解

1、写出对应的特征方程

2、解特征方程

• 单实根r

$$
C e ^ {r x}
$$

• 一对单复根：

$$
\alpha \pm \beta i
$$

有：
$$
e^{\alpha x}(C_1cos{\beta x}+C_2sin{\beta x})
$$

T10求渐近线方程

三步：垂直渐近线、水平渐近线、斜渐近线分析挺够了。

T11.很多人说用泰勒展开，问题是也要背公式啊。而且2015的数二显然不能泰勒，最好是莱布尼兹，2016甚至只能用逐次求导。

1、这个逐次求导思路没错的。

2、还有莱布尼兹公式——两项相乘，且带入x以后，有可能某一项是0，消掉很多多项式元素。 k=1-->n
$$
f^{(n)}=(uv)^{(n)}= \sum_{k=1}^n u^{n-k}v^k
$$

3、或者x=0处可以考虑泰勒展开，确实实践以后，用泰勒展开更快。

泰勒展开公式实例：https://zhuanlan.zhihu.com/p/138153530

无穷小量o(x)的概念：
$$
lim_{x->0}f(x)=0;
lim_{x->0}x=0;
lim_{x->0}f(x)/x=0;
f(x)=o(x)
$$

$$
o(x)它是什么，是x的高一阶的f(x)的集合
$$

无穷小量o(x)的公式：
$$
x o(x)=>o(x^2)
$$

$$
o(x^n)^{(1)}=>o(x^{(n-1)})
$$

T12.考记忆弧长积分公式并简单计算

弧长积分公式：

用这里面提到的勾股定理更好理解：https://www.zhihu.com/question/501374900#:~:text=%E5%BC%A7%E9%95%BFdL%3Dr%20d%CE%B8%3D%EF%BC%88a%2Bb%20%CE%B8%29%20d%CE%B8%20L%3D%20int_,%7B%CE%B81%7D%5E%20%7B%CE%B82%7D%20%EF%BC%88a%2Bb%2A%CE%B8%EF%BC%89d%CE%B8%20L%20%28%CE%B8%29%3Da%2A%CE%B8%2B%20%28b%2A%CE%B8%5E2%29%2F2

T13

首先，不能用矢量合成，认为对角线增加速率是根号13cm/s，因为初始对角线斜率可能和增加的矢量斜率不同，新对角线、旧对角线、增加的矢量形成了一个三角形。所以增长标量部分和增长矢量部分，不在一条线上时，完全不是一回事儿。

列方程，考求导的链式法则

T14

先不求行列式，而是求矩阵表达式

记住这样的公式：已知矩阵表达式和各自矩阵的行列式，得知行列式的表达式。
$$
|AB|=|A||B| \
|A^{-1}|=1/|A|
$$
T15变限积分

1、变上限积分的上限为函数时：
$$
\frac{d}{dx}\int_{a}^{\psi(x)}f(t)dt=f(\psi(x))\psi'(x)
$$
2、求导数不仅为0时（驻点），还要考虑导数不存在时

然后写三行的表格：x,f'(x),f(x)

3、老题里经常和求渐进线、凹凸性放一块考

T16.

要利用第一问的结论做第二问。

T17.考察参数方程二阶导的展开

先求出一阶导
$$
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt}
$$
再求二阶导
$$
\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\frac{dy}{dx}=\frac{d\frac{dy}{dx}}{dt}/\frac{dx}{dt}
$$

变成二阶常系数线性非齐次微分方程——降阶

一阶非齐次微分方程公式：

如果只是f'(x)=x+x+^那就是直接积分，而一阶非齐次微分方程里有f'(x)，有f(x)，有x

T18.

建立直角坐标方程，怎么表达这个椭圆，这个函数？
$$
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
$$
椭圆面积公式：
$$
S=\pi ab
$$
对y积分求面积的理解！！

利用好y=bsint

T19.链式法则多元复合函数的偏导数
$$
\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}
$$

$$
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}+\frac{\partial^2 u}{\partial y\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\frac{\partial y}{\partial t}
$$

• 如果二阶混合偏导连续，则他俩相等

T20.极坐标的二重积分

极坐标的转换：
$$
x=rcos\theta \
y=rsin\theta \
dxdy=rdrd\theta
$$
把D区域写成直角坐标系、将积分改写成直角坐标系

求积分的过程也值得练习，要点在于凑 $$d(1+y^2-x^2) $$、遇到$$ \int(1-x^2)^{3/2}$$要凑三角代换$$ x=sint$$、以及：点火公式
$$
\int_0^{\pi/2}sin^ntdt=\int_0^{\pi/2}cos^ntdt=\frac{(n-1)!!}{n!!},n为正奇数；或者\pi/2\frac{(n-1)!!}{n!!},n为正偶数$$

$$

T21想到了用拉格朗日中值定理，问题是在于，一开始要构建辅助函数

T22.解方程组的问题

1、n元一次线性方程组一定能写出n阶系数方阵的——如果给的不是方阵，就是往下补充0000这一行就行。系数的行变化对应线性方程组的等号不会发生改变，但是列变化会改变

2、非齐次线性方程组：

系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，就意味着有一条方程是0=a，所以一定无解。

3、如果秩相等，那么可能性很多。

• 是不是一个满秩的方阵，通过行变化就可以转变为一个单位矩阵——是对的（先从上往下减，再从下往上减）。

所以r=n时，就有x1=a1,x2=a2,x3=a3等等——就有唯一解

所以r<n时，就会有$$ x_1=a_1+?x_4,x_2=a_2+?x_4 $$（以x4举例子啊），当然如果第四列全为0，那？=0，但不管怎样，x_4都是说取任意一个数都行，所以一定是有无穷多解的。

4、有解的时候怎么求这个解——化成行最简阶梯矩阵后再往上减，最后得到的增广矩阵，用它变出我们的唯一解或者通解（一般解）

只不过有两种写法：一种就是同解方程组改编过来，另自由变量取值为k1,k2这种。

有很多人喜欢写成：X=非齐次方程组的通解=齐次方程组的通解（基础解系）（另某个自由变量为0，其他自由变量以及非齐次部分为0，求出该自由变量对主元的影响）+特解（另所有自由变量为0，求出非齐次部分对主元的影响）。

https://zhuanlan.zhihu.com/p/322272344

n 元线性齐次方程组：

• 增广矩阵做3种行变化时，最后一列总是为0——>系数矩阵的秩一定等于增广矩阵的秩，但是这不意味着一定有解。——而是说一定能找到x1=0,x2=0……的这个零解，所以n元线性齐次方程组一定有解。“系数矩阵的秩一定等于增广矩阵的秩”是否一定说明“一定能找到一个零解”待定。

• 如果r=n，同理（先向下减，再向上减），只有唯一解，且为零解。

• 如果r<n，也同理，有无穷解，而且通解也是用自由变量来表示。

求解的方式都是一样的，其实也是线性方程组不借助矩阵时的求解思路罢了。矩阵就是更快得表示了这一过程。

理解：线性方程组和矩阵的表达、线性方程组的变化和矩阵的行变化（不能列变化）、线性方程组和最终的增广矩阵关于方程的解、根据秩的情况分类讨论

参考资料：https://zhuanlan.zhihu.com/p/70527875

T23.

实对称矩阵（主对角线以外的元素对称）的相似对角化（对角矩阵，主对角线以外的元素统统为0）

是通过Q矩阵也就是正交矩阵（列向量均为单位向量，且两两正交）通过二次型？变成Q-AQ实现的。

有Q的列向量均为A的特征向量。

已知A的特征向量求A的特征值：$$A\alpha=k\alpha $$，已知A求A的特征值：$$ |\lambda E-A|=0$$，已知A的特征值求对应的特征向量x:$$(\lambda E-A)x=0 $$

(n阶方阵有n个特征值)

感想：

1、很多基础知识结构已经忘了，要不还是看一下那种速刷知识点的视频或者刷一下这种书本？

2、赶紧学一下怎么码数学公式，比如偏导公式之类——done了，可以看https://zhuanlan.zhihu.com/p/138532124和https://zhuanlan.zhihu.com/p/450465546#:~:text=%E4%BD%BF%E7%94%A8%20begin%20%7Balign%2A%7D%20%2B%20%E5%85%AC%E7%A4%BA%E5%86%85%E5%AE%B9%20%2B%20%E4%B8%AD%E9%97%B4%E7%94%A8%20%5C,%E5%88%86%E8%A1%8C%20%2B%20%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%AD%89%E5%8F%B7%E5%89%8D%E5%8A%A0%E4%B8%8A%20%26%20%E7%94%A8%20end%20%7Balign%2A%7D%20%E3%80%82

3、或许要把笔记找回来看看，很多公式已经忘了

4、看到T6的时候实在太过于无聊了，救命。——很多概念完全不熟悉，救命，然后语速又没有什么生机，救命

唉，不能浮躁，一套卷子光是视频，得有三个小时，唉，好烦。

5、好吧，从第七题可以看出，有的概念就是要慢慢去体会的，看来这些东西都是不能急的，就是要花时间泡。古有泡妞，今有泡题。沏壶茶先。

6、可以多看看总结公式的视频——比如那个六边形记忆三角函数求导求积分的公式。

可以看看那种类似王道冲刺班一个一个考点去过的视频。

7、要记一记微分方程的通解公式

二倍角公式

椭圆的参数方程

T19.问：偏导数是否也是左导右原+左原右导？

偏x除以偏u(u=xy)等于多少？

T22.问：

行列式不为0为什么就意味着方程有唯一解（满秩）

1997年这道题好，他借助了行列式，或者是行变换时，主元不一定要为1，阶梯可以从左下到右上，6啊https://max.book118.com/html/2018/1123/7142166050001161.shtm

2004年第20题看不懂方法2:https://zhuanlan.zhihu.com/p/398623681

T23.问：

二次型化为标准型的过程，这个x=Qy的Q和QTAQ的Q的关系？Y和y1,y2等等的关系？

视频观点提炼：

1、不止要看知识点讲解课程，也要看真题逐题讲解视频，甚至后者更重要。

2、不是要看完了知识点讲解课程后才开始看真题讲解视频，而是要交叉看，互相补充理解。

3、记公式从最具体最简单的结论记住，然后逐步记更复杂的，直到最字母化概念化的公式。——记公式从具体到抽象，而不是从抽象推具体。

<>