2015

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前几套卷子其实没啥好总结的，因为大多数题都看不懂，一个三岁小孩看复杂的建筑能看出什么？只是觉着怪、新奇罢了，深入一点就啥都不理解，苦恼。不过这套卷子渐渐有点点欣赏的意味了，这从我忍不住在好几道题旁边都批注上“好”可见一斑了。

T1，拐点我下意识只找二阶导为0且左右异号的x值，但是这题好在提醒我还有一种情况：二阶导不存在，而左右异号。

T3帮我理解了

• 绝对收敛和条件收敛的区别，他们和幂级数有什么关系呢？幂级数在收敛域内是绝对收敛的，在收敛域外是发散的，只在收敛半径那俩点上可能是条件收敛的。所以一旦知道条件收敛，就提醒我们可以据此求幂级数的收敛半径嘞。

• 进一步要理解幂级数的an(x-m)^n的an可以应该当作一个常规的恒为正的任意级数，x^n其实也要当作m=0的情况，也就是幂级数的模型是这俩模块组合的。 而左边用lim|a^(n+1)/a^n|是可以求收敛半径的倒数的；右边是可以求收敛域的中心的；因此用俩模块就可以看出整个幂级数的收敛域的情况。

理解这两点，这题你说对我好不好？

T4这题出得很好啊，要有画图，能够理解形象，然后必须要有对二重积分的精准理解才能知道怎么在积了$$\theta$$以后写第二个积分。我喜欢这种，就像文字看得多了就欣赏得来wordplay（比如苏州评弹的词就比绝大多数流行的词wordplay玩得好啊）

T7这个小小的伎俩，如果出在考场上我只能恨得牙痒痒，但是如果不是考试，我只能说这出题人的小聪明劲儿令我忍俊不禁啊。

T10提醒了我积分要多用奇偶性来简化。

T11

帮我理解了什么叫“方程左右做全微分”，很重要一点是dz=$$\partial z/ \partial x +\partial z/ \partial y $$甚至是$$+\partial z/ \partial m $$，要有这个基本认识，然后加上微分的加减乘除等等的基本公式，接着就可以做运算了。

也就好理解什么叫“先代值后求偏导”其实是先求出要求全微分的点（x,y,z）的x,y,z的值，然后求x偏导值前先代入y的值再对x求偏导，诸如此类。

T12提醒我求三重积分利用了轮换对称性——瞧，之前求一重积分提醒的是多用奇偶性的目光审视，虽然我以前的微积分笔记都做过什么轮换对称性云云，但是作笔记并不能真的理解，题目却可以。

T15是用泰勒展开，我想起之前看过一些“秒杀法”的视频，说过求极限的，统统用泰勒就可以非常简单，但是有个问题——如何处理O(x^m)和O(x^n)以及x^k，这三者呢？比如低阶无穷小和高阶无穷小相加等于？相乘等于？无穷小和x^k相乘等于？这些基本的运算都没搞定，怎么搞泰勒展开？而且泰勒展开背几阶展开好？

所以我觉着泰勒展开，先从记住等价无穷小去，比如sinx~x(x->0)，从而记住sinx=x+O(x)，再延伸着背多两阶sinx=x-x^3/6 +O(x^3)这样好记，这是第一；第二是掌握等价无穷小的基本运算律。

所以我说这题好。

T16提醒我遇到这种一阶的非一次的常微分方程，不能用二阶齐次非齐次常微分方程那一套标准流程怎么办？——方程两边积分啊，T11提醒我两边求全微分，这里提醒我两边求积分，哈哈。

T17帮我理解了方向导数，最大方向导数就是梯度。梯度是一个z=f(x,y)在任意一个定义域(x,y)某一点上的一个值，就好比df(x)和f(x)都是x对应的一个值一样。然后是梯度的公式，很好理解的(f对x的偏导，f对y的偏导)，有方向，有膜长。

第二是条件极值，原来就是当方向导数对应的(x,y)被限定在某一条曲线或某一个区域C上的时候再来求这个最大方向导数的值。

然后是拉格朗日乘法的求解方法是什么，这个实际操作起来还是蛮复杂的，但是确实要操作一遍才知道原理那轻飘飘的一句话。

所以我忍不住说这是一道好题——帮我理解了很多东西啊。

T18也是很不错的题，就在于limu+$$\nabla u=u$$这一点是因为连续一定可导，还有就是怎么凑那一点上就是要大胆得补充加减。

T19设置参数方程这里给我启发原来这个模型是x=acost而不是x=cosat，这是很要紧的，对于理解参数方程这种解题模型来说。

T20我理解问题现在还是从线性方程组的解的判定方式——秩的角度思考，而题目则是从列向量组的线性无关/相关角度，从而用上行列式这个工具，不得不说，秩、迹、特征值与特征向量、行列式这四个里头，实实在在迹和行列式是好算的，是很好的简化问题的工具啊。所以T20以及T21的第一问给我最大的启发是多用线性无关、线性相关，以及与之关联的行列式，以及迹这种角度去观察问题，说不定会方便很多。

T21第二问解答了我很久以来的问题：ok我明白了什么是相似矩阵什么是对角矩阵从而知道了什么叫相似对角化，也明白了实对称矩阵一定可以相似对角化这个结论，也知道了要证明要证明两个非对角矩阵相似的方法往往是证明一个矩阵与某对角矩阵相似而另一个矩阵也与该矩阵相似——但是，我怎么求出任意一个矩阵或者实对称矩阵相似对角化以后的那个相似矩阵呢？这换个角度看其实也是关联着“怎么证明一个矩阵与某个对角矩阵相似”的问题

这道题解答了——先用特征方程行列式求特征值，然后代入特征值的特征方程组解出对应的特征向量——（这一点让我明白了为什么当初解方程组大家喜欢用基础解系表示而不是设自由变量为k1那样来解，原来是因为用前者时到求特征向量时整个解题的表达习惯是一样的，所以更顺手，原来如此。）——然后得到的P-1AP这个对角矩阵的对角线元素已经知道了——特征值；P的各个列向量也已经知道了——对应的特征向量。

nice啊。

所以我说这题好啊。，帮我理解了”怎么相似对角化“的问题。

T22也是好，第一问不能用$$C_n^2$$而只能$$C_{n-1}^1$$是因为必须保证最后一个出现的是X>3的，所以能够灵活放的仅仅是第一个X>3的位置而已。第二问也很巧妙，用的是构造函数的思路，佩服佩服呀。

T23也很棒，我直接联想其2013年数一的第23问，是一样的问法，但是第二问用$$dLnL(\theta)/d\theta$$是得不到0的，但是这时候就体现了什么叫“最大似然法”了，我们要的是使似然函数最大时，求出对应的$$\theta$$值，理解这一点后这里就不用求导方法而是直接找到了对应的$$\theta$$值了，很妙啊。也帮我理解了之前之所以要ln一下又要d一下，原来就只是为了求出“最大似然函数”这一点，所以这个方法一般要带上$$\theta>0,f(x;\theta)>0,L(\theta)>0$$这么一套，从而能实现lnL最大时一一对应着L也最大。而求出dLnL=0后按道理也要说一下左右异号，从而说明这是似然函数最大的时候，再从而说明这就是对应的西塔值啊。

所以我说这题好啊，帮我理解了“最大似然法的最大是什么意思“。而不仅仅是之前知道”最大似然法的似然是什么意思“

所以这套卷子真的是做到了：

• 在实践中帮我理解很多理论术语中的概念和解题方法的思路
• 能让我联想其以前的一些题目

20230826